（完整版）因式分解难题及答案
因式分解是数学中一个非常重要的概念，它不仅在代数运算中占有举足轻重的地位，也是解决许多实际问题的基础工具。本文将精选一些经典的因式分解难题，并提供详细的解答过程，帮助读者更好地掌握这一技能。
一、经典因式分解难题
1. 题目：分解因式 $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
解析：
观察该多项式，发现其形式类似于二项式的展开公式。通过尝试，我们可以将其改写为：
$$
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3
$$
因此，原多项式的因式分解结果为 $(x-1)^3$。
2. 题目：分解因式 $a^2b + ab^2 + a^2 + b^2$
解析：
首先提取公因式 $ab$，得到：
$$
a^2b + ab^2 + a^2 + b^2 = ab(a+b) + (a^2 + b^2)
$$
注意到 $a^2 + b^2$ 可以进一步分解为 $(a+b)^2 - 2ab$，因此：
$$
ab(a+b) + (a^2 + b^2) = ab(a+b) + (a+b)^2 - 2ab
$$
整理后得到：
$$
(a+b)(ab + a + b)
$$
最终结果为 $(a+b)(ab + a + b)$。
二、综合应用题
1. 题目：已知 $x+y=5$，$xy=6$，求 $x^3 + y^3$ 的值。
解析：
利用立方和公式 $x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$，代入已知条件：
$$
x^3 + y^3 = 5((5)^2 - 3 \cdot 6) = 5(25 - 18) = 5 \cdot 7 = 35
$$
因此，$x^3 + y^3 = 35$。
三、总结
通过以上例题可以看出，因式分解的关键在于观察和灵活运用各种公式。无论是简单的二次多项式还是复杂的高次多项式，只要掌握了基本方法，就能轻松应对。希望本文能对大家的学习有所帮助！
