二重积分习题及答案
在数学分析中，二重积分是处理二维空间内函数的一种重要工具。它不仅用于计算平面区域上的面积、质量分布以及平均值等问题，还在物理学和工程学中有广泛应用。为了帮助大家更好地理解和掌握这一知识点，下面我们将通过一些典型例题来详细解析二重积分的解法。
例题一：基本计算
设函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $，求其在矩形区域 $ R = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2\} $ 上的二重积分。
解答：
首先，将二重积分写成累次积分的形式：
$$
\iint_R (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \int_0^2 (x^2 + y^2) \, dy \, dx
$$
对内层积分关于 $ y $ 积分：
$$
\int_0^2 (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_0^2 = 2x^2 + \frac{8}{3}
$$
然后对外层积分关于 $ x $ 积分：
$$
\int_0^1 \left( 2x^2 + \frac{8}{3} \right) \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{8x}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3}
$$
因此，该二重积分为：
$$
\boxed{\frac{10}{3}}
$$
例题二：极坐标变换
设函数 $ f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} $，求其在单位圆 $ D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\} $ 上的二重积分。
解答：
利用极坐标变换，令 $ x = r\cos\theta $，$ y = r\sin\theta $，则 $ x^2 + y^2 = r^2 $，且面积元素变为 $ dA = r \, dr \, d\theta $。积分区域变为 $ 0 \leq r \leq 1 $，$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。
原积分转化为：
$$
\iint_D e^{-(x^2 + y^2)} \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 e^{-r^2} r \, dr \, d\theta
$$
先对 $ r $ 积分：
$$
\int_0^1 e^{-r^2} r \, dr = -\frac{1}{2} \int_0^1 e^{-r^2} \, d(r^2) = -\frac{1}{2} \left[ e^{-r^2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})
$$
再对 $ \theta $ 积分：
$$
\int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(1 - e^{-1}) \, d\theta = \pi (1 - e^{-1})
$$
因此，该二重积分为：
$$
\boxed{\pi (1 - e^{-1})}
$$
总结
以上两道题目展示了二重积分的基本计算方法和极坐标变换的应用。通过这些例子，我们可以看到，正确选择积分顺序和适当的变换技巧对于简化计算至关重要。希望这些练习能够帮助你加深对二重积分的理解，并在实际问题中灵活运用。
请根据需要调整或扩展上述内容。
