在数学中，复数是一种重要的数集扩展形式，它将实数与虚数相结合，形成了一个更广泛的数值体系。复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算法则不仅在理论研究中有重要意义，在工程、物理等领域也有广泛应用。以下是复数基本运算的详细公式及说明：

1. 复数的加法与减法

设两个复数分别为 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $（其中 $ a, b, c, d $ 均为实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $）。

- 加法：

$$

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

$$

- 减法：

$$

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

$$

2. 复数的乘法

复数的乘法遵循分配律，并结合 $ i^2 = -1 $ 的性质。

$$

z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

$$

3. 复数的除法

复数的除法需要通过分母有理化来实现。设 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，且 $ z_2 \neq 0 $。

$$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

$$

即：

$$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i

$$

4. 模与共轭

- 模：复数的模表示其在复平面上到原点的距离，公式为：

$$

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

- 共轭：复数的共轭是将虚部取反，记作 $ \overline{z} $，即：

$$

\overline{z} = a - bi

$$

以上公式构成了复数运算的基础框架，熟练掌握这些内容有助于解决涉及复数的各种问题。

通过上述内容可以看出，复数的运算规则虽然看似复杂，但本质上是基于实数运算规则的扩展与调整，理解这些规则对于进一步学习高等数学或相关应用领域至关重要。