在高中阶段的学习中，数学始终是一个关键的学科。对于高二的学生来说，掌握扎实的基础知识和灵活运用能力尤为重要。本文将通过一些精选的典型题目，帮助同学们更好地理解并巩固相关知识点，并附上详细的解答过程，以供参考。

首先来看第一道选择题：

已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，判断该函数在区间 $[-2, 2]$ 上是否有零点。

解析：我们可以利用罗尔定理或直接代入端点值的方法来分析。计算得 $ f(-2) = -5 $，$ f(2) = 3 $，显然函数值一正一负，因此由连续函数的性质可知，在此区间内至少存在一个零点。

接下来是一道填空题：

若等比数列的首项为 $ a_1 = 2 $，公比为 $ q = \frac{1}{2} $，则其前五项的和为 ________。

解析：根据等比数列求和公式 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} $（当 $ q \neq 1 $），代入已知条件可得：

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^5}{1-\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \left(1-\frac{1}{32}\right) = 4 \cdot \frac{31}{32} = \frac{31}{8}.

$$

最后，我们看一道综合应用题：

某工厂生产甲乙两种产品，每件甲产品的利润为 60 元，乙产品的利润为 40 元。已知每天生产的总工时为 8 小时，且生产一件甲产品需要 2 小时，乙产品需要 1 小时。问如何安排生产才能使每日利润最大化？

解析：设每天生产甲产品 $ x $ 件，乙产品 $ y $ 件，则约束条件为 $ 2x + y \leq 8 $。目标函数为利润函数 $ P = 60x + 40y $。通过线性规划的方法可以找到最优解为 $ x = 2 $，$ y = 4 $，此时最大利润为 $ P = 60 \times 2 + 40 \times 4 = 120 + 160 = 280 $ 元。

以上便是本次分享的内容，希望对大家有所帮助。复习过程中，建议多做练习题，总结经验，逐步提升自己的解题能力。

（注：上述内容仅为示例，实际教学中应结合具体教材和学生情况调整难度与范围。）